如何证明交错级数∑(-1)^n[1⼀(n-3^n)]收敛

如图所示：

这是绝对收敛。

(1)(2)(4)(5)(6)都是绝对收敛的. (1)取绝对值后即∑1/(2n-1)2. 由1/(2n-1)2 ≤ 1/n2, 而∑1/n2收敛, 用比较判别法即得. (2)取绝对值后即∑1/(n·2^n). 由1/(n·2^n) ≤ 1/2^n, 而∑1/2^n收敛, 用比较判别法即得. (4)取绝对值后即∑|sin(na)|/(n+1)2. 由|sin(na)|/(n+1)2 ≤ 1/n2, 而∑1/n2收敛, 用比较判别法即得. (5)取绝对值后即∑1/2^n+∑3/10^n (正项级数敛散性重排不变). 两项都是收敛的等比级数, 因此和也是收敛的. (6)取绝对值后即1/2+∑(2n+1)2/2^(n+1). 当n → ∞时, 后项与前项比值1/2·(2n+3)2/(2n+1)2 → 1/2 1. 根据D'Alembert判别法即得. (3)是条件收敛的. 首先(3)是交错级数, 通项绝对值1/ln(n+1)单调趋于0. 根据Leibniz判别法, 原级数收敛. 而取绝对值后即∑1/ln(n+1). 由1/ln(1+n) > 1/n, 而∑1/n发散, 用比较判别法即知∑1/ln(n+1)发散. 于是原级数收敛但不绝对收敛, 即为条件收敛.