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设f(n)=1+1⼀根号2+1⼀根号3+……1⼀根号n，n∈N,用数学归纳法证明f(n)与根号下n+1的大小关系

2024-11-19 14:51:46

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回答1：

解：先假设f（n）<根号下n+1
第一步：当n=1时f（n）=1<根号下n+1=根号2
第二部：假设当n=k时成立，即f(k)<根号下k+1
第三部：当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+1/根号k+1
f（k+1）-根号k+2=f（k）+1/根号k+1-根号k+2
因为第二部假设，所以有
f（k+1）-根号k+2=f（k）+1/根号k+1-根号k+2
<根号k+1+1/根号k+1-根号k+2=
[（k+1）-根号（k+1）（k+2）]/根号(k+1)<0
即f（k+1）<根号k+2
故综上所诉：f(n)<根号下n+1
证毕。