（2014?威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这

（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得

a?b+2＝0 16a+4b+2＝0

，
解得

a＝?  1 2 b＝  3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=

22+42

=2

5

．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则

1

2

×2

5

h=

1

2

×2×4，
∴h=

4

5

5

．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴

AB

BC

=

|y|

4 5 5

，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
得x₁=0，x₂=3．
当y=-2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

2＝b 0＝4k+b

，
∴

k＝? 1 2 b＝2

，
y_BC=-

1

2

x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=-

1

2

x+n，由图象，得
0=-

1

2

×（-1）+n
∴n=-

1

2

，
y_AD=-

1

2

x-

1

2

．
∴-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

x-

1

2

，
解得：x₁=-1，x₂=5
∴D（-1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=

10

．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=