李永乐数学复习全书里的一个问题 捆饶我一个月

将原式的x换成1/x,即求：
x趋向无穷大时，x[(1+1/x)^x-e]的值
高数书上证明了，x趋向无穷大时，(1+1/x)^x趋于e等价于x为整数时，x趋向无穷大时，(1+1/x)^x趋于e的必要性，而他的充分性可由“一个函数的极限存在，他的子数列的极限必存在且相等”知。
所以原题可变为：求极限：n趋向无穷大时，n[(1+1/n)^n-e]的值
由牛顿二项公式：(1+1/n)^n=1+(n/1!)*(1/n)+[n(n-1)2!]*(1/n^2)+n(n-1)(n-2)/3!*(1/n^3)+……+n(n-1)……(n-n+1)/n!*1/n^n=1+1+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+……+1/n!(1-1/n)(1-2/n)……[1-(n-1)/n]
再把e作泰勒展开得[(1+1/n)^n-e]=1/2!(-1/n)+1/3!(-1/n-2/n+2/n^2)+……+1/n!(-1/n-2/n……-(n-1)/n……]
n趋向无穷大时，n[(1+1/n)^n-e]=1/2!(-1)+1/3!(-1-2)+……+1/n!(-1-2……-(n-1)]=-（1/2）e

这个式子的分子分母是同阶无穷小，替代了就忽略了分子中的无穷小量，导致答案错误。 若分子是分母的高阶无穷小，答案不会错，但方法是错的。总之，0/0型和无穷/无穷型都不能代。

个人之见，仅供参考。

这是0/0型，不能用等阶无穷小代替，只能用洛必达法则。
即上下同时求导，上面求导先取对数，在求导，结果比较复杂，你自己探索下吧，下面分子求导等于1，然后易得该极限等于-e.

可以使用无穷小替换。但是需要对（1+x)的x分之1次方进行恒等变形！然后对分子提一个e出来。这样，就可以用e的x次方-1~x,然后化简，用洛比达法则就可以求了。

在加法和减法的情况下是不能用等价无穷小来替换的，因为这样有可能造成答案完全错误，这种情况下只能用洛比达法则来计算