椭圆双曲线所有公式！

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2。

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)。

双曲线的标准方程分两种情况：

焦点在X轴上时为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，（a>0，b>0）。

焦点在Y轴上时为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，（a>0，b>0）。

双曲线的离心率为：e=c/a

双曲线的焦点在y轴上的双曲线的渐近线为：y=+-（a/b）*x。

扩展资料

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。

等轴双曲线：一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b且e=√2、这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）。

参考资料来源：百度百科-椭圆的标准方程

参考资料来源：百度百科-双曲线

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2。

推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)。

双曲线的标准方程分两种情况：

焦点在X轴上时为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，（a>0，b>0）。

焦点在Y轴上时为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，（a>0，b>0）。

双曲线的离心率为：e=c/a

双曲线的焦点在y轴上的双曲线的渐近线为：y=+-（a/b）*x。

椭圆的对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

1、顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

2、焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

以上内容参考 百度百科-椭圆的标准方程；百度百科-双曲线

椭圆和双曲线是曲线方程的两种重要类型，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。以下是一些常见的椭圆和双曲线公式及其应用：

一、椭圆公式

定义和参数方程

椭圆是由两个焦点和到两个焦点的距离之和等于定值的点的轨迹形成的曲线。具体定义为：平面上，到两个定点(焦点)的距离之和等于定值(称为椭圆的周长)的点的轨迹。

椭圆的参数方程为: x=acosθ,y=bsinθ，其中a为长轴长，b为短轴长，θ为参数。

面积公式
椭圆的面积公式为S=πab，其中a为长轴长，b为短轴长。这个公式可以用来计算椭圆的面积，也可以用来解决一些物理问题，比如行星绕太阳运动的轨道面积。

标准方程
椭圆的标准方程为(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1，其中a为长轴长，b为短轴长。这个方程可以用来解决一些几何问题，比如计算椭圆的周长、面积和对称性等。

焦点和准线

椭圆的焦点是两个焦点的位置，它们可以用标准方程中的a和b表示。椭圆的准线是垂直于长轴的直线，它们可以用标准方程中的a和b表示。

焦点三角形
当椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形时，可以使用焦点三角形公式来计算三角形的面积。焦点三角形公式为S=(b^2)tan(θ/2)，其中θ为焦点与三角形的交角。

二、双曲线公式

定义和参数方程

双曲线是一种圆锥曲线，定义为平面上，到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值等于定值(称为双曲线的虚轴长)的点的轨迹。

双曲线的参数方程为: x=asecθ,y=btanθ，其中a为实轴长，b为虚轴长，θ为参数。

标准方程

双曲线的标准方程为(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1，其中a为实轴长，b为虚轴长。这个方程可以用来解决一些几何问题，比如计算双曲线的周长、面积和对称性等。

焦点和准线

双曲线的焦点是两个焦点的位置，它们可以用标准方程中的a和b表示。双曲线的准线是垂直于实轴的直线，它们可以用标准方程中的a和b表示。

等角坐标系

在双曲线中，我们可以使用等角坐标系来计算双曲线的形状和大小。等角坐标系是指以双曲线的焦点为极点，以实轴为极轴的坐标系。在这个坐标系中，双曲线的极坐标方程为ρ=ep/(1-e*cosθ)，其中e是离心率，p是焦点到准线的距离。

离心率公式

双曲线的离心率公式为e=(a^2)/(a^2-b^2)，其中a为实轴长，b为虚轴长。这个公式可以用来计算双曲线的形状和大小。例如，当e接近1时，双曲线更平坦；当e接近0时，双曲线更弯曲。

焦点弦公式

在双曲线中，通过焦点的弦称为焦点弦。焦点弦的长度可以用以下公式计算：|AB|=|PF1|-|PF2|或|AB|=2a±|PF1|-|PF2|。

椭圆和双曲线是常见的二次曲线，它们可以用不同的方程来表示。以下是椭圆和双曲线的标准方程和其他相关公式：
椭圆的标准方程：
1. 横轴为主轴的椭圆的标准方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示半长轴和半短轴的长度。
2. 竖轴为主轴的椭圆的标准方程：(x^2/b^2) + (y^2/a^2) = 1。
椭圆的其他相关公式：
1. 离心率的计算：椭圆的离心率e可以通过公式 e = √(1 - (b^2/a^2)) 计算。
2. 焦点的坐标：椭圆的焦点的坐标为 (±ae, 0)。
3. 焦距的长度：椭圆的焦距长度为2ae。
4. 短半轴的长度：短半轴的长度为b。
双曲线的标准方程：
1. 横轴为主轴的双曲线的标准方程：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示实轴和虚轴的长度。
2. 竖轴为主轴的双曲线的标准方程：(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1。
双曲线的其他相关公式：
1. 离心率的计算：双曲线的离心率e可以通过公式 e = √(1 + (b^2/a^2)) 计算。
2. 焦点的坐标：双曲线的焦点的坐标为 (±ae, 0)。
3. 焦距的长度：双曲线的焦距长度为2ae。
4. 虚半轴的长度：虚半轴的长度为b。
这些是椭圆和双曲线的基本公式和相关属性，希望对你有帮助！记得在具体问题中应用这些公式时，结合具体情况进行调整和应用。

椭圆和双曲线是在数学中描述二维平面上曲线形状的两种基本类型。它们的标准方程如下：

• 椭圆（Ellipse）的标准方程：
  椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。椭圆的标准方程为：
  (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
  其中，a和b分别是椭圆的两个半轴的长度，F1和F2是椭圆的两个焦点。

• 双曲线（Hyperbola）的标准方程：
  双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹。双曲线的标准方程有两种形式：
  a) 水平方向的双曲线：
  (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1
  其中，a和b分别是双曲线的两个半轴的长度，F1和F2是双曲线的两个焦点。
  b) 垂直方向的双曲线：
  (y^2 / a^2) - (x^2 / b^2) = 1
  其中，a和b分别是双曲线的两个半轴的长度，F1和F2是双曲线的两个焦点。

椭圆和双曲线是二次曲线的两种类型，它们在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。根据标准方程，您可以了解和绘制这些曲线的形状和性质。值得注意的是，椭圆和双曲线的标准方程是一种特殊情况，它们可能存在旋转或平移后的一般方程形式。