（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．证明如下：
f′（x）=
[1 x2
?1?ln(x+1)]=-x x+1
[1 x2
+ln（x+1）]，1 x+1
∵x＞0，∴x2＞0，
＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，1 x+1
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数睁弯运．
（Ⅱ）f（x）＞悉梁
恒成立，即h（x）=k x+1
＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．(x+1)[1+ln(x+1)] x
h′（x）=
，记g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），x?1?ln(x+1) x2
则g′（x）=
＞0，闹敬∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，x x+1
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），g（a）=0，即a=1+ln（a+1），
当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）min=h（a）=
=a+1∈（3，4），(a+1)[1+ln(a+1)] a
∴k＜a+1，
故正整数k的最大值为3．
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