求解s=1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3...+n)

求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值（答案n(n+1)(2n+1)/6）
　　　　方法一：利用立方差公式
　　　　n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
　　　　3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
　　　　4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
　　　　......
　　　　n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　各等式全相加
　　　　n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

　　　　n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

　　　　3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)

　　　　1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　　　方法二：另外一个很好玩的做法

　　　　想像一个有圆圈构成的正三角形，
　　　　第一行1个圈，圈内的数字为1
　　　　第二行2个圈，圈内的数字都为2，
　　　　以此类推
　　　　第n行n个圈，圈内的数字都为n，
　　　　我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
　　　　下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
　　　　再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
　　　　然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
　　　　我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
　　　　而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
　　　　1+2+……+n=n(n+1)/2
　　　　于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
　　　　r=n(n+1)(2n+1)/6
当然，我也可以这样
这个式子中学生也知道的，不是到了微积分才遇到的。
证明这个式子一般都是用下面的方法：
因为(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1，分别取k=1，2，…，n写出n个等式：
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
把这n个等式两边相加，得到
(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3*(1+2+…+n)+n
即n^3+3n^2+3n=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3n(n+1)/2+n
由此可以解得：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
你的式子只要用n-1代入n就可以得到。
用完全类似的方法，可以求得
1^3+2^3+…+n^3
1^4+2^4+…+n^4
…… 是法三
法四
数列{1/n^2}的前n项和的公式：
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
由二数和的立方公式：
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
--->(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2^2+3(n-2)+1
……………………………………
3^3-2^3=3*2^2 +3*2 +1
2^3-1^3=3*1^2 +3*1 +1
1^3=1.
以上n个等式的两边分别相加：
n^3=3(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+3(1+2+3+……+n)+n*1
=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(n+1)/2+n
--->3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3-3n(n+1)-n
=n(n+1)(2n+1)/2
--->(1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
取n-1得到1^2+2^2+3^2+……+(n-1)^2=(n-1)n(2n-1)/6.

拓展：1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2你知道怎么求吗，(*^__^*) 嘻嘻……

s=c(2,2)+c(3,2)+c(4,2)+......+c(n+1,2)
=c(3,3)+c(3,2)+c(4,2)+......+c(n+1,2)
=c(4,3)+c(4,2)+c(5,2)......+c(n+1,2)
=c(5,3)+c(5,2)+c(6,2)......+c(n+1,2)
......
=c(n+1,3)+c(n+1,2)
=c(n+2,3)
即等于n(n+1)(n+2)/6

其中c(n,m) 是组合 还利用公式c(n+1,m) =c(n,m) +c(n,m-1)

每一项都是n(n+1)/2
=1+3+6+10+……+n(n+1)/2
设数列{An},A1=1*2/2,A2=2*3/2,…,An=n(n+1)/2,则通项为An=n(n+1)/2
故1+3+6+10+.....n(n+1)/2=∑An…①

2*∑An=1x2+2x3+…+n(n+1)=1*(1+1)+2*(2+1)+…+n(n+1)
=(1^2+2^2+…+n^2)+(1+2+…+n)
=n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3

故1+3+6+10+.....n(n+1)/2=∑An=n(n+1)(n+2)/6

因为1+2+3+...+k=(1+k)k/2=(k^2+k)/2
所以s=(1/2)*[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)]
=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4
=[n(n+1)/12]*(2n+4)
=n(n+1)(n+2)/6

如题，可以看出1只有1个，2有2个，3有3个。。。。。。n有n个。于是，套用公式
1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
。。。。。。
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6.