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设椭圆方程为x2+y2⼀4=1,过点M(0,1)的直线L交椭圆于点A,B,O是坐标原点,点P满足

2025-02-25 00:25:03

推荐回答（3个）

回答1：

设L的方程为y=kx+1，与椭圆的方程联立消去y得(k^2+4)x^2+2kx-3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).x1+x2=-2k/(k^2+4),设p(x,y)，则有x=(x1+x2)/2=-k/(k^2+4),y=kx+1=4/(k^2+4).消去y得p的轨迹方程为4x^2+(y-1/2)^2=1/4。第二问，|NP|=根号[(x-1/2)^2+(y-1/2)^2]，根号里的式子=x^2-x+y^2-y+1/2=x^2-x-4x^2+1/2=-3x^2-x+1/2.其中-1/4<=x<=1/4.剩下的就是求这个二次函数的最值了，结果NP的最大值为根号21/6.最小值为1/4。累死了，用手机啊

回答2：

解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
椭圆：4x2+y2-4=0
由直线l：y=kx+1代入椭圆方程得到：
（4+k2）x2+2kx-3=0，
x1+x2=-2k4+k2，y1+y2=84+k2，
由OP=
12(
OA+
OB)得：
（x，y）=12（x1+x2，y1+y2），
即：x=
x1+x22=-
k4+k2y=
y1+y22=
44+k2
消去k得：4x2+y2-y=0
当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2-y=0．

(2).解：
P点轨迹的参数方程为：x=1/4cosθ，y=1/2+1/2sinθ
则|PN|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²
=(1/4cosθ-1/2)²+(1/2sinθ)²
=1/16cos²θ+1/4-1/4cosθ+1/4-1/4cos²θ （此处利用了sin²θ=1-cos²θ）
=-3/16cos²θ-1/4cosθ+1/2
=-3/16(cos²θ+4/3cosθ)+1/2
=-3/16(cosθ+2/3)²+7/12
∵cosθ∈[-1,1]
则cosθ+2/3∈[-1/3,5/3]
则(cosθ+2/3)²∈[0,25/9]
则-3/16(cosθ+2/3)²∈[-25/48,0]
则-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∈[1/16,7/12]
即|PN|²∈[1/16,7/12]
则|PN|∈[1/4,√21/6]
即|NP|的最大值为√21/6，最小值为1/4

回答3：

设ab所在直线的斜率为k,a(xa,ya),b(xb,yb),p(xp,yp)
①xp=(xa+xb)/2
②yp=(ya+yb)/2
③xa^2+ya^2/4=1
④xb^2+yb^2/4=1
③-④化简,并有①,②代入可得xp/yp=-k/4(过程略)
⑤yp=-4*xp/k
又⑥yp=k*xp+1(p是ab中点,一定落在直线上)
⑤*(⑥-1)=-4*xp^2,化简得;
x^2/(1/16)+(y-1/2)^2/(1/4)=1
当k=0时,p(0,1),等式成立
当k不存在时,p(0,0),等式成立
.........
n为p所在椭圆的中心,np向量的模的最小值与最大值分别是该椭圆的半短轴与半长轴。

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