∫（1⼀sinx）dx＝？

∫1/sinxdx

=∫sinx/sin^2xdx

=-∫dcosx/(1-cos^2x)

=-∫dt/(1-t^2)

[令t=cosx]

=-1/2∫（1/(t+1)-1/(t-1))dt

=-1/2(ln|t+1|-ln|t-1|)+C

=-1/2ln|(cosx+1)/(cosx-1)|+C

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

扩展资料：

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。积分都满足一些基本的性质。以下的  在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。

一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位。

参考资料来源：百度百科——积分

1.    ∫ dx/sinx = ∫ cscxdx = ln|cscx-cotx| + C

      = lntan(x/2) + C

2. p + √(1+p^2) = e^(x/a),    √(1+p^2) = e^(x/a) - p

   1 + p^2 = e^(2x/a) - 2pe^(x/a) + p^2

    e^(2x/a) -1 = 2pe^(x/a) 

    p = (1/2)[e^(x/a) - e^(-x/a)] = sinh(x/a)

   
   

解：
令x=tanu，则x²+1=sec²u，dx=sec²udu
∫x^2/(x^2+1)^2dx

=∫ [tan²u/(secu)^4]sec²udu
=∫ tan²u/sec²udu
=∫ (sec²u-1)/sec²udu
=∫ 1 du - ∫ cos²u du
=u - (1/2)∫ (1+cos2u) du
=u - (1/2)u - (1/4)sin2u + C
=(1/2)u - (1/2)sinucosu + C
=(1/2)arctanx - (1/2)x/(1+x²) + C

ln绝对值(1/sinx-cotx)加c

可以使用拼凑法，答案如图所示