高一 数学 下午要交作业了，很急 请详细解答,谢谢! (8 11:59:14)

1、
(1)非零函数f(x)，设f(a)不等于0，则f(a)=f(a+0)=f(a)f(0)
所以f(0)=1
取任意x>0，则
f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1
因-x>0,f(-x)>1，所以f(x)=1/f(-x)>0
所以，对于x属于R，都有f(x)>0

(2)设任意xf(x)=f[y+(x-y)]=f(y)f(x-y)
因x-y<0,则f(x-y)>1
得f(x)>f(y)，所以f(x)为减函数

(3)1/16=f(4)=f(2+2)=f(2)*f(2)
所以f(2)=1/4
不等式为：f(x-3)f(5-x^2)<=1/4
左边=f(x-3+5-x^2)=f(-x^2+x+2)<=1/4=f(2)
由f(x)为减函数，得：
-x^2+x+2>=2 => x(x-1)<=0 => 0<=x<=1

2、(1)a=2,则f(x)=2x/(1+x^2)
由于2x<=1+x^2 （均值不等式，且仅当x=1时取等号）
所以f(x)<=1，即f(x)最大值为1，此时x=1

(2) 设任意-1f(x)-f(y)=2x/(1+x^2)-2y/(1+y^2)=2(x-y)(1-xy)/[(1+x^2)(1+y^2)]
其中分母(1+x^2)(1+y^2)>0
分子中x-y<0，而1-xy>0
所以f(x)-f(y)<0，即f(x)所以f(x)为增函数

1.
(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0， 恒成立。则 f(x) > 0 成立。
采用反证法：
假设存在 x0, f(x0) = 0
那么对任意 x，f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾。因此 不存在 x0 ，使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
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(2)求证:f(x)为减函数
设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)

x1 - x2 < 0 ，而已知 x<0 时, f(x) > 1。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1，恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
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(3)当f(4)=1/16 时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4

f(4) = 1/16，所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ，舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4

根据 f(a)*f(b) = f(a+b)，则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数，则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ，底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质
2.
(1)a=2,则f(x)=2x/(1+x^2)
由于2x<=1+x^2 （均值不等式，且仅当x=1时取等号）
所以f(x)<=1，即f(x)最大值为1，此时x=1

(2)f'(x)=a(x^2+1)-2xax/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2
令上式等于0 解得x=+1或-1
若a>0
x>1 或x<-1时f'(x)<0所以在区间（负无穷，-1）并（1，正无穷）单调递减
-1<=x<=1 f'(x)>0所以f(x)在 【-1，1】 单调递增
当a<0时
x>1 或x<-1时f'(x)>0所以在区间（负无穷，-1）并（1，正无穷）单调递增
-1<=x<=1 f'(x)<0所以f(x)在 【-1，1】 单调递减