求定积分（1,0）ln（1+x）⼀x（1+x^）dx 的过程

构造函数P(y)=∫ln(1+yx)/x(1+x²)dx，

则有P=P(1)-P(0)=∫(0到1)P'(y)dy

P'(y)=∫x/(1+yx)x(1+x²)dx

=∫1/(1+xy)(1+x²)dx

=1/(1+y²)∫(1-xy)/(1+x²)+y²/(1+xy)dx

=(arctanx-(y/2)ln(1+x²)+yln(1+xy))/(1+y²)

=(π/4-yln2/2+yln(1+y))/(1+y²)

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距  是相等的。但是必须指出，即使  不相等，积分值仍然相同。

我们假设这些“矩形面积和”  ，那么当n→+∞时，  的最大值趋于0，所以所有的  趋于0，所以S仍然趋于积分值。

利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

构造函数P(y)=∫ln(1+yx)/x(1+x²)dx，
则有P=P(1)-P(0)=∫(0到1)P'(y)dy
P'(y)=∫x/(1+yx)x(1+x²)dx
=∫1/(1+xy)(1+x²)dx
=1/(1+y²)∫(1-xy)/(1+x²)+y²/(1+xy)dx
=(arctanx-(y/2)ln(1+x²)+yln(1+xy))/(1+y²)
=(π/4-yln2/2+yln(1+y))/(1+y²)
然后计算P即可